Alikwoty

Alikwoty

Szukając informacji o alikwotach nie natknąłem się na obliczenia, które mi były potrzebne, więc musiałem je wykonać sam. Może się komuś jeszcze przydadzą, nie są skomplikowane. Na początek trochę teorii dla niezorientowanych (dotyczyć ona będzie tylko typowych instrumentów strunowych). Alikwoty tworzą tzw. szereg harmoniczny, powstaje on zawsze, gdy struna drży i pod warunkiem, że na odcinku drgającym nie napotka ona żadnych przeszkód oprócz powietrza (czyli np. nie dotykamy jej). Dotknięcie struny zakłóca powstanie szeregu harmonicznego, ewentualnie zmienia jego skład (np. flażolety).

Wydaje się, że drgania szarpniętej struny można zilustrować tak, jak na poniższej animacji (aby uruchomić animację, należy wcisnąć przycisk „play”), gdzie wykres f rysowany linią czerwoną reprezentuje strunę drgającą całą swoją długością:

 

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Jednak rzeczywistość jest bardziej skomplikowana, nie dość, że szarpnięta struna wykonuje drgając na całej swojej długości nieco inne ruchy, to jeszcze drga dzieląc się na dwie, trzy, cztery części itd. Nic przecież nie stoi na przeszkodzie, aby tak się nie działo. Drgania te, podobnie jak ton podstawowy, mają również charakter sinusoidalny i tworzą wraz z nim szereg harmoniczny. Resztę drgań możemy teraz pominąć…

A teraz trochę o tym, jak można odnaleźć dźwięk najbliższy danej alikwocie.
Jak widać z animacji, długość fali kolejnych składowych harmonicznych jest n-tą częścią długości fali tonu podstawowego, n należy do zbioru liczb naturalnych, natomiast częstotliwość jest odwrotnie proporcjonalna do długości fali

f=\frac{1}{L}

Z powyższych dwóch faktów wynika, że każda kolejna n-ta alikwota ma częstotliwość odpowiednio n razy większą. Więc jeśli f jest częstotliwością tonu podstawowego, to f1=2f, f2=3f itd. Załóżmy, że mamy dźwięk a1, każdy wie, że jego częstotliwość wynosi 440Hz. Pierwsza składowa harmoniczna, jaką usłyszymy, będzie miała częstotliwość dwa razy większą. Znajdziemy się o oktawę wyżej. Jak do tego dojść wykorzystując obliczenia? Ano tak, że każdy kolejny dźwięk ma częstotliwość

fx=\sqrt[12]{2}

większą od poprzedniego. Ale żeby uzyskać częstotliwość dwa razy większą, trzeba pomnożyć fx przez siebie 12 razy – tyle, ile mamy dźwięków, więc jesteśmy o oktawę wyżej.
Problem zaczyna się już przy częstotliwości trzy razy większej. Pytamy, do jakiej potęgi należy podnieść nasze fx, aby otrzymać liczbę 3.
Odpowiedzi dostarcza rozwiązanie

\log_{3}{\sqrt[12]{2}}

Po przekształceniu dostajemy

A_3=12\frac{\log{3}}{\log{2}}\approx 19

Idziemy teraz 19 półtonów w górę i znajdujemy szukany dźwięk. Analogicznie dla czwartej alikwoty:

A_4=12\frac{\log{4}}{\log{2}}=24

A więc w tym przypadku dostaniemy alikwotę oddaloną o dwie oktawy. Dochodzimy do wzoru ogólnego (n>1):

A_n=12\frac{\log{n}}{\log{2}}

I w ten sposób możemy znaleźć kolejne alikwoty. Kolejne alikwoty pojawiają się w stałych odległościach, niezależnych od wysokości tonu podstawowego (jak również od stroju), dostaniemy po kolei alikwoty odległe od niego o 12, 19, 24, 28, 31, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 44, 46, 47, 48 itd. półtonów. Warto przy okazji zauważyć, że poza odległościami pełnych oktaw (12, 24, 36, 48) wymienione liczby są przybliżeniami wyników otrzymanych ze wzoru ogólnego, dlatego też wysokości dźwięków ze skali nie są odzwierciedleniem rzeczywistych wysokości składowych harmonicznych. Np. dla 11 alikwoty mamy wartość równą w przybliżeniu 41,513179.

Napisałem prostą aplikację wyświetlającą kolejne alikwoty. Program podaje w wierszu „Int” (Interwał) zaokrągloną wartość odległości (w półtonach), w wierszu „N” (Nuty) umieszcza nazwy dźwięków, a w wierszu „Ct” (Centy) wyświetla setną część tonu, jaką należałoby do danego dźwięku dodać (lub od niego odjąć, jeśli widnieje znak „-„), aby uzyskać większe przybliżenie.

Oczywiście wszystkie te moje rozważania są tylko i wyłącznie teoretyczne, a przyjęty model jest czysto matematyczny. Powodzenia w szukaniu alikwot 😀

PS Aplikacja nie jest jeszcze przetestowana, więc nie gwarantuję absolutnej poprawności wyświetlanych wyników! Chociaż myślę, że działa jak powinna 😉

Twoja przeglądarka nie potrafi uruchomić aplikacji. Upewnij się, czy Java (w wersji co najmniej 1.4.2) jest zainstalowana i aktywna w Twojej przeglądarce (Kliknij tutaj, aby zainstalować Javę)

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *


5 + jeden =

Możesz użyć następujących tagów oraz atrybutów HTML-a: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>